微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (7 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ 转换成 $\tan (7 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\csc (5 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\tan (7 x) \csc (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1.4$ 。因此， $\tan (7 x) \csc (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1.4$ 。

$1.4$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\tan (7 x) \csc (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1.4$ 。因此， $\tan (7 x) \csc (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1.4$ 。

$1.4$

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