微积分学示例

$y = \sin (\sin (x))$ , $(2 π, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2 π$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 1.3

重新排序 $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 2 π$ 处的导数。

$\cos (2 π) \cos (\sin (2 π))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (0) \cos (\sin (2 π))$

解题步骤 1.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cos (\sin (2 π))$

解题步骤 1.5.3

将 $\cos (\sin (2 π))$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\sin (2 π))$

解题步骤 1.5.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\sin (0))$

解题步骤 1.5.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 1.5.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(2 π, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (2 π))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 1 \cdot (x - 2 π)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x - 2 π)$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 2 π$ 乘以 $1$ 。

$y = x - 2 π$

解题步骤 3

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