微积分学示例

$\ln (\ln (x^{2}))$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

将对数的自变量设为零。

$\ln (x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.1

以指数形式书写。

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解题步骤 1.2.1.1

对于对数方程，只要满足

$x > 0$ 、

$b > 0$ 和

$b \neq 1$ ，则

$\log_{b} (x) = y$ 和

$b^{y} = x$ 是等价的。在本例中，

$b = e$ 、

$x = x^{2}$ 和

$y = 0$ 。

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 0$

解题步骤 1.2.1.2

将

$b$ 、

$x$ 和

$y$ 的值代入方程

$b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x^{2}$

$e^{0} = x^{2}$

解题步骤 1.2.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将方程重写为

$x^{2} = e^{0}$ 。

$x^{2} = e^{0}$

解题步骤 1.2.2.2

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.2.4

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.2.5.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.2.5.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3

垂直渐近线出现在

$x = 1, x = - 1$ 。

垂直渐近线：

$x = 1, x = - 1$

垂直渐近线：

$x = 1, x = - 1$

解题步骤 2

求在

$x = - 2$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 2) = \ln (\ln ({(- 2)}^{2}))$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 2) = \ln (\ln (4))$

解题步骤 2.2.2

最终答案为

$\ln (\ln (4))$ 。

$\ln (\ln (4))$

$\ln (\ln (4))$

解题步骤 2.3

把

$\ln (\ln (4))$ 转换成小数。

$= 0.32663425$

$= 0.32663425$

解题步骤 3

求在

$x = - 3$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$- 3$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 3) = \ln (\ln ({(- 3)}^{2}))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 3) = \ln (\ln (9))$

解题步骤 3.2.2

最终答案为

$\ln (\ln (9))$ 。

$\ln (\ln (9))$

$\ln (\ln (9))$

解题步骤 3.3

把

$\ln (\ln (9))$ 转换成小数。

$= 0.787195$

$= 0.787195$

解题步骤 4

求在

$x = - 4$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$- 4$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 4) = \ln (\ln ({(- 4)}^{2}))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 4) = \ln (\ln (16))$

解题步骤 4.2.2

最终答案为

$\ln (\ln (16))$ 。

$\ln (\ln (16))$

$\ln (\ln (16))$

解题步骤 4.3

把

$\ln (\ln (16))$ 转换成小数。

$= 1.01978144$

$= 1.01978144$

解题步骤 5

可以使用

$x = 1, x = - 1$ 处的垂直渐近线和点

$(- 2, 0.32663425), (- 3, 0.787195), (- 4, 1.01978144)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

$x = 1, x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 1.02 \\ - 3 & 0.787 \\ - 2 & 0.327 \end{array}$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$