微积分学示例

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $2 e^{3 x}$ 。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

解题步骤 1.2.1.2

从 $3 e^{3 x}$ 中减去 $2 e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} = 1$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

解题步骤 1.2.3

展开左边。

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解题步骤 1.2.3.1

通过将 $3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 x})$ 。

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

解题步骤 1.2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x = \ln (1)$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$3 x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $3 x = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $3 x = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

解题步骤 1.3.2

化简 $2 e^{3 (0)} + 1$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$y = 2 e^{0} + 1$

解题步骤 1.3.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$y = 2 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = 2 + 1$

解题步骤 1.3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = 3$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, 3)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 1$ 和 $0$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

解题步骤 3.3

从 $2 e^{3 x}$ 中减去 $3 e^{3 x}$ 。

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

解题步骤 3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

解题步骤 3.5

应用常数不变法则。

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

解题步骤 3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

解题步骤 3.7

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.7.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.7.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.7.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.7.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

解题步骤 3.7.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 3.7.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

解题步骤 3.7.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 3.9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

解题步骤 3.10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

解题步骤 3.11

代入并化简。

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解题步骤 3.11.1

计算 $x$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

解题步骤 3.11.2

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

解题步骤 3.11.3

化简。

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解题步骤 3.11.3.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

解题步骤 3.11.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

解题步骤 3.12

化简。

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解题步骤 3.12.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

解题步骤 3.12.1.2

运用分配律。

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

解题步骤 3.12.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

解题步骤 3.12.1.4

乘以 $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ 。

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解题步骤 3.12.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

解题步骤 3.12.1.4.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

解题步骤 3.12.1.4.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 3.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 3.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 3.12.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 4

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

解题步骤 5

用积分求 $0$ 和 $2$ 之间的面积。

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解题步骤 5.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

解题步骤 5.3

从 $3 e^{3 x}$ 中减去 $2 e^{3 x}$ 。

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

解题步骤 5.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

解题步骤 5.5

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.5.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.5.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 5.5.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 5.5.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 5.5.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.5.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

解题步骤 5.5.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 5.5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 5.5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

解题步骤 5.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

解题步骤 5.7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

解题步骤 5.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

解题步骤 5.9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

解题步骤 5.10

代入并化简。

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解题步骤 5.10.1

计算 $e^{u}$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

解题步骤 5.10.2

计算 $- x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 5.10.3

化简。

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解题步骤 5.10.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 5.10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 5.10.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

解题步骤 5.10.3.4

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

解题步骤 5.11

化简。

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解题步骤 5.11.1

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

解题步骤 5.11.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{6}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

解题步骤 5.11.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

解题步骤 5.11.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

解题步骤 5.11.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.11.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.11.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.11.5

化简分子。

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解题步骤 5.11.5.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

解题步骤 5.11.5.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

解题步骤 5.11.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

解题步骤 6

加上面积 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ 。

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解题步骤 6.1

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中减去 $7$ 。

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.3

要将 $\frac{e^{6} - 5}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 。

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.4

合并分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{e^{6} - 5}{3}$ 乘以 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 。

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.5.2

通过指数相加将 $e^{6}$ 乘以 $e^{3}$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

解题步骤 6.5.2.2

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例