微积分学示例

$\log_{b} (216) = 3$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{b} (216) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$b^{3} = 216$

解题步骤 2

求解 $b$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $216$ 。

$b^{3} - 216 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $216$ 重写为 $6^{3}$ 。

$b^{3} - 6^{3} = 0$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = 6$ 。

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $6$ 移到 $b$ 的左侧。

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

解题步骤 2.4

将 $b - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $b - 6$ 设为等于 $0$ 。

$b - 6 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$b = 6$

解题步骤 2.5

将 $b^{2} + 6 b + 36$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $b^{2} + 6 b + 36$ 设为等于 $0$ 。

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $b$ 的 $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 6$ 和 $c = 36$ 的值代入二次公式中并求解 $b$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $36$ 。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $36$ 中减去 $144$ 。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 108$ 重写为 $- 1 (108)$ 。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (108)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ 。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.7

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.7.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.7.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.9

将 $6$ 移到 $i$ 的左侧。

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.3.3

化简 $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ 成立的所有值。

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

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