微积分学示例

$3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $3^{2 x}$ 重写为 ${(3^{x})}^{2}$ 。

${(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = 3^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $3^{x}$ 。

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 12 u + 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $27$ ，和为 $- 12$ 。

$- 9, - 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u - 3) = 0$

$(u - 9) (u - 3) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $3^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3^{x} - 9 = 0$

$3^{x} - 3 = 0$

解题步骤 3

将 $3^{x} - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3^{x} - 9$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} - 9 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3^{x} - 9 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$3^{x} = 9$

解题步骤 3.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{2}$

解题步骤 3.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

解题步骤 4

将 $3^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} - 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $3^{x} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$3^{x} = 3$

解题步骤 4.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{1}$

解题步骤 4.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

解题步骤 5

最终解为使 $(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$