微积分学示例

$\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((1 - x) (2 - x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (1 (2 - x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 - x - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2 - x - 2 x - x (- x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2 - x - 2 x + 1 x^{2}) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 - x - 2 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

解题步骤 1.3.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$\ln (2 - 3 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$2 - 3 x + x^{2} = x + 14$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 - 3 x + x^{2} - x = 14$

解题步骤 3.1.2

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$2 + x^{2} - 4 x = 14$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $14$ 。

$2 + x^{2} - 4 x - 14 = 0$

解题步骤 3.3

从 $2$ 中减去 $14$ 。

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x + 2) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(x - 6) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, - 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$ 成立的解。

$x = - 2$

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