微积分学示例

$\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ((x + 3) (x + 4)) = \log (20)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 4)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log (x (x + 4) + 3 (x + 4)) = \log (20)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 (x + 4)) = \log (20)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (x^{2} + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log (x^{2} + 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\log (x^{2} + 4 x + 3 x + 12) = \log (20)$

解题步骤 1.3.2

将 $4 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\log (x^{2} + 7 x + 12) = \log (20)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x^{2} + 7 x + 12 = 20$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$x^{2} + 7 x + 12 - 20 = 0$

解题步骤 3.2

从 $12$ 中减去 $20$ 。

$x^{2} + 7 x - 8 = 0$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $7$ 。

$- 1, 8$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) (x + 8) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.6

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(x - 1) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 8$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$ 成立的解。

$x = 1$

微积分学 示例

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