微积分学示例

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x + 2)) = 0$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 0$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} + 2 x) = 0$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{0}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} + 2 x) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x^{2} + 2 x$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{2} + 2 x = e^{0}$ 。

$x^{2} + 2 x = e^{0}$

解题步骤 4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} + 2 x = 1$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.6.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x) + \ln (x + 2) = 0$ 成立的解。

$x = - 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 1 + \sqrt{2}$

小数形式：

$x = 0.41421356 \dots$

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