微积分学示例

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

解题步骤 1.1.3

重写多项式。

$\frac{2 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}) - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - (\frac{8}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

解题步骤 2.6

将 $\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 3)}$

解题步骤 2.7

重新排序 $(x - 3) (x + 1) (x - 3)$ 的因式。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 3)}$

解题步骤 2.8

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} (x - 3))}$

解题步骤 2.9

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})}$

解题步骤 2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x (x + 1) - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.4

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - ((x - 3) (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.5

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.5.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.6.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.6.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 6 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.7

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.8

化简。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.8.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 3}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.10

将 $- 8$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.2

将 $2 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.3

合并 $x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.1

从 $8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{x^{2} + 0 - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.3.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.4

将 $- 9$ 和 $24$ 相加。

$\frac{x^{2} + 15}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

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