微积分学示例

$(1 - 4 e^{x}) x^{2}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 - 4 e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$(1 - 4 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - 4 e^{x}) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $1 - 4 e^{x}$ 的左侧。

$2 \cdot (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 - 4 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ 。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ 相加。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$

解题步骤 2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(2 \cdot 1 + 2 (- 4 e^{x})) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 \cdot 1 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

解题步骤 4.3.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$2 x - 8 e^{x} x + x^{2} (- 4 e^{x})$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$

解题步骤 4.5

将 $- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$ 中的因式重新排序。

$- 8 x e^{x} - 4 x^{2} e^{x} + 2 x$

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