微积分学示例

$g (u) = \sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ 。

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\sqrt{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\sqrt{3} u$ 对 $u$ 的导数是 $\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u]$ 。

$\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

解题步骤 2.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 u}$ 重写成 ${(5 u)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 u)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

从 $5 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

对 $5 (u)$ 运用乘积法则。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

因为 $5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的导数是 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.12

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{3}$

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