微积分学示例

$\frac{e^{x}}{\ln (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

从 $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $e^{x} \ln (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- \frac{e^{x}}{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.2

要将 $\ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ 。

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.5

合并。

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.6

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.7

将 $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

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