微积分学示例

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

解题步骤 1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x$ 。

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 5

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 7.2

从 $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 7.2.2

从 $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

解题步骤 7.2.3

从 $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

解题步骤 8

约去公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 9

组合 $9$ 和 $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ 。

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

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解题步骤 10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.2

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.3

乘以 $9 (- 3 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 10.3.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.3.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 10.3.2

从 $18 x^{2}$ 中减去 $27 x^{2}$ 。

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

从 $- 9 x^{2} + 81$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

解题步骤 10.4.1.2

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

解题步骤 10.4.1.3

从 $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 10.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 10.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $3^{2}$ 重新排序。

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 10.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$

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