微积分学示例

$\frac{x}{\sqrt{7 - 3 x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 - 3 x}$ 重写成 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

解题步骤 5.2

将 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 7 - 3 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 - 3 x$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 6.3

使用 $7 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]}{7 - 3 x}$

解题步骤 12

根据加法法则， $7 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 13

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{7 - 3 x}$

解题步骤 15

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{7 - 3 x}$

解题步骤 16

合并分数。

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解题步骤 16.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

解题步骤 16.2

组合 $3$ 和 $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{7 - 3 x}$

解题步骤 18

将 $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 19

要将 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 20

组合 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 21

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 22

通过指数相加将 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 22.1

移动 ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 22.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 22.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 23

化简 ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{\frac{(7 - 3 x) \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 24

将 $2$ 移到 $7 - 3 x$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 \cdot (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

解题步骤 25

将 $\frac{\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - 3 x}$

解题步骤 26

将 $\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{7 - 3 x}$ 。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (7 - 3 x)}$

解题步骤 27

对 $7 - 3 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 ({(7 - 3 x)}^{1} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 29

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 30

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 31

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2

化简分子。

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解题步骤 32.2.1

化简每一项。

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解题步骤 32.2.1.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14 - 6 x + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2.2

将 $- 6 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{14 - 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.3

重新排序项。

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.4

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.5

将 $14$ 重写为 $- 1 (- 14)$ 。

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.6

从 $- (3 x) - 1 (- 14)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.7

将 $- (3 x - 14)$ 重写为 $- 1 (3 x - 14)$ 。

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

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