微积分学示例

$- 3 \sec (x) \sin (x)$

解题步骤 1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \sec (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- 3 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 (\sin (x) \sec (x) \tan (x))$

解题步骤 5.2

去掉圆括号。

$- 3 \sec (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 3 \cos (x) \sec (x) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.4.1.1

添加圆括号。

$- 3 (\cos (x) \sec (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.1.3

将 $- 3 \cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 3 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.1.4

约去公因数。

$- 3 \cdot 1 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 3 - 3 \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$- 3 + \frac{- 3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.5

将负号移到分数的前面。

$- 3 - \frac{3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.6

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{3}{\cos (x)}$ 。

$- 3 - \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 5.4.7

将 $3$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$- 3 - \frac{3 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 5.4.8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 3 - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.4.9

乘以 $- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.4.9.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$- 3 - \frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 - \frac{3 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.4.9.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

解题步骤 5.4.9.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.4.9.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

乘以 $1$ 。

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.5.2

乘以 $1$ 。

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

解题步骤 5.5.3

分离分数。

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$

解题步骤 5.5.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.5.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 - (\frac{3}{1} \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.5.6

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- 3 - (3 \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.5.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 - 3 \tan^{2} (x)$

解题步骤 5.6

从 $- 3$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (1) - 3 \tan^{2} (x)$

解题步骤 5.7

从 $- 3 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$

解题步骤 5.8

从 $- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (1 + \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.9

重新整理项。

$- 3 (\tan^{2} (x) + 1)$

解题步骤 5.10

使用勾股恒等式。

$- 3 \sec^{2} (x)$

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