微积分学示例

$x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{7} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ 。

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.5

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6

约去 $x^{7}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6.2.3

约去公因数。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6.2.4

重写表达式。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.6.2.5

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

解题步骤 3.2.2

将 $7 x^{6}$ 和 $8 x^{6}$ 相加。

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

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