微积分学示例

$\frac{\sqrt{7} (x^{- \frac{1}{2}})}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

解题步骤 1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

解题步骤 3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ 。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

解题步骤 3.2

移动 $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ 。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{2 + \sqrt{7 x}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

解题步骤 3.4

对 $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1})}$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 ${\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}$ 重写为 $2 + \sqrt{7 x}$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ 重写成 ${(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {({(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{1}}$

解题步骤 3.7.5

化简。

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

解题步骤 4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

解题步骤 5

将 $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})} \cdot \frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x})}$

解题步骤 6.2

重新排序。

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解题步骤 6.2.1

移动 $2 + \sqrt{7 x}$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} ((2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x}))}$

解题步骤 6.2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 2 \sqrt{7 x} + \sqrt{7 x} \cdot 2 - {\sqrt{7 x}}^{2})}$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

将 ${\sqrt{7 x}}^{2}$ 重写为 $7 x$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x}$ 重写成 ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {({(7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 6.2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 6.2.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 6.2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 6.2.3.1.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{1})}$

解题步骤 6.2.3.1.5

化简。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - (7 x))}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \cdot 2 + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 6.4

重新排序。

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解题步骤 6.4.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 6.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

乘以 $- \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 x (7 (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7.1.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{49 x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7.2

将 $49 x (2 + \sqrt{7 x})$ 重写为 $7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7.2.2

添加圆括号。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7.3

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - (7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

解题步骤 7.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - 7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

微积分学 示例

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