微积分学示例

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ 等于 $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ ，其中 $f (c) = 1 + c e^{x}$ 且 $g (c) = 1 - c e^{x}$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + c e^{x}$ 对 $c$ 的导数是 $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $c$ 是常数，所以 $1$ 对 $c$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $e^{x}$ 对于 $c$ 是常数，所以 $c e^{x}$ 对 $c$ 的导数是 $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ 等于 $n c^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $1 - c e^{x}$ 对 $c$ 的导数是 $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $c$ 是常数，所以 $1$ 对 $c$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- e^{x}$ 对于 $c$ 是常数，所以 $- c e^{x}$ 对 $c$ 的导数是 $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ 等于 $n c^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

从 $0$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

乘以 $- 1 (- e^{x})$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.6

乘以 $- c e^{2 x} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.6.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

合并 $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $- c e^{2 x}$ 和 $c e^{2 x}$ 相加。

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.3

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.6

将 $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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