微积分学示例

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

解题步骤 2

$x$ 对 $t$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(2 t + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 t + 1) (2 t + 1)$ 。

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 t + 1) (2 t + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $2 t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

解题步骤 3.3.2

将 $2 t$ 和 $2 t$ 相加。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ 。

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $4 t^{2} + 4 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.5

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.8

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.9

将 $8 t + 4$ 和 $0$ 相加。

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.5.11

将 $4 t^{2} + 4 t + 1$ 乘以 $1$ 。

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2

合并项。

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解题步骤 3.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.5

将 $4$ 移到 $t$ 的左侧。

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.6

将 $8 t^{2}$ 和 $4 t^{2}$ 相加。

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

解题步骤 3.6.2.7

将 $4 t$ 和 $4 t$ 相加。

$12 t^{2} + 8 t + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$

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