微积分学示例

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

解题步骤 1

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解题步骤 1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

解题步骤 1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

解题步骤 1.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

解题步骤 1.4

将 $4$ 移到 ${(x^{4} + 9)}^{8}$ 的左侧。

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

解题步骤 2

由于 $4 d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4 d$ 移到积分外。

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x^{4} + 9$ 。然后使 $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x^{4} + 9$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{4} + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{4} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.1.4

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 ${u_{1}}^{8}$ 。

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ 和 $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ 。

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $d$ 。

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

解题步骤 6.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

解题步骤 6.3.2

用 $d$ 除以 $1$ 。

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {u_{1}}^{8}$ ， $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ 。

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ 。

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

解题步骤 8.2

组合 ${u_{1}}^{8}$ 和 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 。

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

解题步骤 8.3

将 $4$ 移到 ${u_{1}}^{8}$ 的左侧。

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{4}{5}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

解题步骤 8.5

组合 $8$ 和 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

解题步骤 8.6

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

解题步骤 8.7

组合 $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 和 ${u_{1}}^{7}$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

解题步骤 9

由于 $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 移到积分外。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{1}}^{7}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 ${u_{1}}^{8}$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

解题步骤 11.2

将 $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ 重写为 $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ 。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

解题步骤 11.3

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解题步骤 11.3.1

重新排序项。

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

解题步骤 11.3.2

从 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ 中减去 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ 。

$d \cdot 0 + C$

解题步骤 11.3.3

将 $d$ 乘以 $0$ 。

$0 + C$

解题步骤 11.3.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C$

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