微积分学示例

$\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 1}$ 重写成 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4

将 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = {(2 y + 1)}^{5}$ 且 $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{5}] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6

将 ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

解题步骤 7

化简。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{5}] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{5}$ 且 $g (y) = 2 y + 1$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 y + 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 8.3

使用 $2 y + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (5 {(2 y + 1)}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

将 $5$ 移到 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.2

根据加法法则， $2 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.6

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.7

化简表达式。

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解题步骤 9.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 9.7.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 10.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 10.3

使用 $y^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 15.4

组合 $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(2 y + 1)}^{5}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

解题步骤 16

根据加法法则， $y^{2} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

解题步骤 18

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19

化简项。

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解题步骤 19.1

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.4

组合 $\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 19.5

从 $- 2 {(2 y + 1)}^{5} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20

约去公因数。

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解题步骤 20.1

从 $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 21

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 22

要将 $10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 23

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 24.1

移动 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 24.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 25

化简 $10 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 26

将 $\frac{\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} (\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

解题步骤 27

将 $\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 28

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 28.1

将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 28.1.1

对 $y^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 28.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 28.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 28.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 28.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29

将 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}}$ 乘以 $\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y)}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 30

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 31

化简分母。

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解题步骤 31.1

通过指数相加将 ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 31.1.1

移动 ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 31.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

解题步骤 31.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 31.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 31.2

化简 ${(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

运用分配律。

$\frac{(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2

化简分子。

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解题步骤 32.2.1

从 $(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y$ 中分解出因数 ${(2 y + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 32.2.1.1

从 $(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4}$ 中分解出因数 ${(2 y + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.2

从 $- {(2 y + 1)}^{5} y$ 中分解出因数 ${(2 y + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{4} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.1.3

从 ${(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{4} (- (2 y + 1) y)$ 中分解出因数 ${(2 y + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.2

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.3

运用分配律。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.6

运用分配律。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 32.2.7.1

移动 $y$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.7.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.8

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.9

从 $10 y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} + 10 - y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.2.10

重新排序项。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

解题步骤 32.3

约去公因数。

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解题步骤 32.3.1

从 ${(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)$ 中分解出因数 ${(2 y + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{4} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

解题步骤 32.3.2

约去公因数。

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{4} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

解题步骤 32.3.3

重写表达式。

$\frac{8 y^{2} - y + 10}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$

微积分学 示例

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