微积分学示例

$y = \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ 重写成 ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

将 ${({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

化简。

$\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{- x + 2 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 8

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{\frac{0 + 2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{\frac{2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{1 - x}$ 。

$1 \frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 11

将 $\frac{1 - x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 。

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解题步骤 12.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 12.3

使用 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 16

化简分子。

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解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 17

合并分数。

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解题步骤 17.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 17.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1 - x}{2}$ 。

$\frac{1 - x}{2 \cdot 2} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 17.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

解题步骤 18

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19

求微分。

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解题步骤 19.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.5

将 $1 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.6

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.10

乘。

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解题步骤 19.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.10.2

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.12

化简项。

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解题步骤 19.12.1

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.12.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.12.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.12.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}})$

解题步骤 19.12.5

将 $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1 - x}{4}$ 。

$\frac{2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{2} \cdot 4} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 19.12.6

将 $4$ 移到 ${(1 - x)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 (1 - x)}{4 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 20

约去公因数。

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解题步骤 20.1

从 $4 {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$\frac{1 - x}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 21

约去 $1 - x$ 和 ${(1 - x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 21.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 21.2

约去公因数。

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解题步骤 21.2.1

从 $2 {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 21.2.2

约去公因数。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 21.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 22.2

对 $\frac{1 - x}{1 + x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3

运用分配律。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4

合并项。

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解题步骤 22.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 - 2 x} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4.3

将 $\frac{1}{2 - 2 x}$ 乘以 $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{(2 - 2 x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.5

重新排序项。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - 2 x)}$

解题步骤 22.6

从 $2 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 22.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) - 2 x)}$

解题步骤 22.6.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) + 2 (- x))}$

解题步骤 22.6.3

从 $2 (1) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1 - x))}$

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1 - x)}$

解题步骤 22.7

重新排序项。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

解题步骤 22.8

从 ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- x + 1$ 。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

解题步骤 22.9

约去公因数。

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解题步骤 22.9.1

从 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)$ 中分解出因数 $- x + 1$ 。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

解题步骤 22.9.2

约去公因数。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

解题步骤 22.9.3

重写表达式。

$\frac{{(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 22.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.11

将 $2$ 移到 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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