微积分学示例

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.10

组合 $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\sin (5 x)}$ 重写成 ${\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (5 x)$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.3.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{- 2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 3.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) \cdot 5)$

解题步骤 3.12

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 \cdot \cos (5 x))$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (5 \cos (5 x))$

解题步骤 3.14

组合 $5$ 和 $\frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (5 x)$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $\cos (5 x)$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (5 x)}{3}$

解题步骤 3.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cos (5 x)}{3 {\sin (5 x)}^{\frac{2}{3}}}$

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