微积分学示例

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(e^{2 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 4

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

解题步骤 6.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 7.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 7.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

解题步骤 8.4

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

解题步骤 9.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

解题步骤 9.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.3

从 $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 9.3.1

从 $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.3.3

从 $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2})$ 。

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.5

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

从 $e^{4 x} x$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

解题步骤 9.5.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

解题步骤 9.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

解题步骤 9.7

从 $- 2 x \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

解题步骤 9.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

解题步骤 9.9

从 $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

解题步骤 9.10

将 $- (2 x \ln (x) - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

解题步骤 9.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$

微积分学 示例

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