微积分学示例

$y = x^{1 - x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{1 - x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{1 - x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $1 - x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{1 - x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $(1 - x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $(1 - x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 - x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

解题步骤 5.6.2

将 $- 1$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

解题步骤 5.6.3

将 $- 1 \ln (x)$ 重写为 $- \ln (x)$ 。

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x$ 。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

约去公因数。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

解题步骤 6.3.4.2

重写表达式。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

组合 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

解题步骤 6.5.2

将 $- 1$ 移到 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 的左侧。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

解题步骤 6.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.6

将 $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 重写为 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.7

要将 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.8

组合 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.9

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.10

从 $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

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解题步骤 6.10.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.10.2

从 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.10.3

从 $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 6.11

要将 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 6.12

组合 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 6.13

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 6.14

从 $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

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解题步骤 6.14.1

从 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

解题步骤 6.14.2

从 $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ 中分解出因数 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

解题步骤 6.15

将 $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$

微积分学 示例

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