微积分学示例

$y = \frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \csc (x)$ 且 $g (x) = 1 - \csc (x)$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 相加。

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 - \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 相加。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

乘。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $1 + \csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- \csc (x) \cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

乘以 $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.4

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $- \csc (x) \cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5

乘以 $- \csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 6.3.1.5.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

合并 $- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 中减去 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.3

从 $- \csc (x) \cot (x)$ 中减去 $\csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{- 2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

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