微积分学示例

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 - x^{- 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 - x^{- 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 相加。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.5

乘。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.5.2

将 ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ 的因式。

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

对 $\frac{x - 1}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

解题步骤 3.7

将 $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

重写表达式。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

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