微积分学示例

$f (x) = x {(1 - 2 x)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 3.9

将 ${(1 - 2 x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ 中分解出因数 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

从 ${(1 - 2 x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

解题步骤 4.1.3

从 ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ 中分解出因数 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

解题步骤 4.2.2

从 $- 6 x$ 中减去 $2 x$ 。

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.3

将 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 重写为 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 。

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 2 x$ 乘以 $1$ 。

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.5.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

解题步骤 4.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ 。

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 8 x$ 乘以 $1$ 。

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.4.1

移动 $x$ 。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.5

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.8.1

移动 $x$ 。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.7.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.9

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.7.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

解题步骤 4.8

从 $- 8 x$ 中减去 $4 x$ 。

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

解题步骤 4.9

将 $32 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$

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