微积分学示例

$y = (\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x) + \cot (x)$ 且 $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)] + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\csc (x) - \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 5

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 6

使用求加法法则求导。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 6.2

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $\csc (x) + \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 7

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 8

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

重新排序项。

$(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

运用分配律。

$- \csc (x) \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.1.2

运用分配律。

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.1.3

运用分配律。

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.1.1

乘以 $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.1.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.2

乘以 $- \csc (x) \cot (x) \cot (x)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.2.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.2.2

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.3

通过指数相加将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.3.1

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.3.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc^{1} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + {\csc (x)}^{2 + 1} + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.1.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.2

将 $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ 和 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 相加。

$0 - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.2.3

从 $0$ 中减去 $\csc (x) \cot^{2} (x)$ 。

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.3

从 $- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $- \csc (x) \cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.3.2

从 $\csc^{3} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.3.3

从 $\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.4

将 $- \cot^{2} (x)$ 和 $\csc^{2} (x)$ 重新排序。

$\csc (x) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.5

使用勾股恒等式。

$\csc (x) \cdot 1 + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.6

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ 。

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解题步骤 9.2.7.1

运用分配律。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) (\csc (x) - \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.7.2

运用分配律。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

解题步骤 9.2.7.3

运用分配律。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.8.1.1

乘以 $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.8.1.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.1.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2

乘以 $- \csc (x) \cot (x) (- \cot (x))$ 。

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解题步骤 9.2.8.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2.3

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2.4

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.3

通过指数相加将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.8.1.3.1

移动 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.3.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.2.8.1.3.2.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

解题步骤 9.2.8.1.4

乘以 $- \csc^{2} (x) (- \cot (x))$ 。

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解题步骤 9.2.8.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + 1 \csc^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 9.2.8.1.4.2

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 9.2.8.2

将 $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ 和 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 相加。

$\csc (x) + 0 + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

解题步骤 9.2.8.3

将 $0$ 和 $\csc (x) \cot^{2} (x)$ 相加。

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

解题步骤 9.2.9

从 $\csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 9.2.9.1

从 $\csc (x) \cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) - \csc^{3} (x)$

解题步骤 9.2.9.2

从 $- \csc^{3} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

解题步骤 9.2.9.3

从 $\csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x))$

解题步骤 9.2.10

将 $\cot^{2} (x)$ 和 $- \csc^{2} (x)$ 重新排序。

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))$

解题步骤 9.2.11

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))$

解题步骤 9.2.12

从 $\cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))$

解题步骤 9.2.13

从 $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))$

解题步骤 9.2.14

使用勾股恒等式。

$\csc (x) + \csc (x) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.2.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) + \csc (x) \cdot - 1$

解题步骤 9.2.16

将 $- 1$ 移到 $\csc (x)$ 的左侧。

$\csc (x) - 1 \cdot \csc (x)$

解题步骤 9.2.17

将 $- 1 \csc (x)$ 重写为 $- \csc (x)$ 。

$\csc (x) - \csc (x)$

解题步骤 9.3

从 $\csc (x)$ 中减去 $\csc (x)$ 。

$0$

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