微积分学示例

$x (11 - 2 x) (19 - 2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (11 - 2 x)$ 且 $g (x) = 19 - 2 x$ 。

$x (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [19 - 2 x] + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $19 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [19] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$x (11 - 2 x) (\frac{d}{d x} [19] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.2

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (11 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$x (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (11 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (11 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x (11 - 2 x) \cdot - 2 + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 2.6.2

将 $- 2$ 移到 $x (11 - 2 x)$ 的左侧。

$- 2 \cdot (x (11 - 2 x)) + (19 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (11 - 2 x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 11 - 2 x$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [11 - 2 x] + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $11 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (x \cdot - 2 + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (- 2 \cdot x + (11 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (- 2 x + (11 - 2 x) \cdot 1)$

解题步骤 4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.8.1

将 $11 - 2 x$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (- 2 x + 11 - 2 x)$

解题步骤 4.8.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x (11 - 2 x) + (19 - 2 x) (- 4 x + 11)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x) + (19 - 2 x) (- 4 x + 11)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$- 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x) + (19 - 2 x) (- 4 x) + (19 - 2 x) \cdot 11$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$- 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x) + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (19 - 2 x) \cdot 11$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$- 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x) + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5

合并项。

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解题步骤 5.5.1

将 $11$ 乘以 $- 2$ 。

$- 22 x - 2 x (- 2 x) + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 22 x + 4 x \cdot x + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 22 x + 4 (x^{1} x) + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 22 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 22 x + 4 x^{1 + 1} + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 22 x + 4 x^{2} + 19 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.7

将 $- 4$ 乘以 $19$ 。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x - 2 x (- 4 x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.8

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 x \cdot x + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 (x^{1} x) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 x^{1 + 1} + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 x^{2} + 19 \cdot 11 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.13

将 $19$ 乘以 $11$ 。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 x^{2} + 209 - 2 x \cdot 11$

解题步骤 5.5.14

将 $11$ 乘以 $- 2$ 。

$- 22 x + 4 x^{2} - 76 x + 8 x^{2} + 209 - 22 x$

解题步骤 5.5.15

从 $- 76 x$ 中减去 $22 x$ 。

$- 22 x + 4 x^{2} - 98 x + 8 x^{2} + 209$

解题步骤 5.5.16

从 $- 22 x$ 中减去 $98 x$ 。

$4 x^{2} - 120 x + 8 x^{2} + 209$

解题步骤 5.5.17

将 $4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$12 x^{2} - 120 x + 209$

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