微积分学示例

$\ln (\sec (7 x) + \tan (7 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (7 x) + \tan (7 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (7 x) + \tan (7 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (7 x) + \tan (7 x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (7 x) + \tan (7 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (7 x) + \tan (7 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [\sec (7 x) + \tan (7 x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (7 x) + \tan (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (7 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (7 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 3.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 3.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\sec (7 x) \tan (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\sec (7 x) \tan (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\sec (7 x) \tan (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (\sec (7 x) \tan (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 4.3.2

将 $7$ 移到 $\sec (7 x) \tan (7 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \cdot (\sec (7 x) \tan (7 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $7 x$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 5.2

$\tan (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{3})$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 5.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1))$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + \sec^{2} (7 x) \cdot 7)$

解题步骤 6.3.2

将 $7$ 移到 $\sec^{2} (7 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \cdot \sec^{2} (7 x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

重新排序 $\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} (7 \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x))$ 的因式。

$(7 \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x)) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$7 \sec (7 x) \tan (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} + 7 \sec^{2} (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.3

乘以 $7 \sec (7 x) \tan (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{7}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 和 $\sec (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{7 \sec (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 和 $\tan (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) \tan (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} + 7 \sec^{2} (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.4

乘以 $7 \sec^{2} (7 x) \frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 。

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解题步骤 7.4.1

组合 $\frac{1}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 和 $7$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) \tan (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} + \frac{7}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} \sec^{2} (7 x)$

解题步骤 7.4.2

组合 $\frac{7}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$ 和 $\sec^{2} (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) \tan (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)} + \frac{7 \sec^{2} (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{7 \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.6

从 $7 \sec (7 x) \tan (7 x) + 7 \sec^{2} (7 x)$ 中分解出因数 $7 \sec (7 x)$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $7 \sec (7 x) \tan (7 x)$ 中分解出因数 $7 \sec (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) (\tan (7 x)) + 7 \sec^{2} (7 x)}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.6.2

从 $7 \sec^{2} (7 x)$ 中分解出因数 $7 \sec (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) (\tan (7 x)) + 7 \sec (7 x) (\sec (7 x))}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

解题步骤 7.6.3

从 $7 \sec (7 x) (\tan (7 x)) + 7 \sec (7 x) (\sec (7 x))$ 中分解出因数 $7 \sec (7 x)$ 。

$\frac{7 \sec (7 x) (\tan (7 x) + \sec (7 x))}{\sec (7 x) + \tan (7 x)}$

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