微积分学示例

$\arctan (\frac{x}{3})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{3 \cdot 1 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 3.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{9}$ 。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{9}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 + \frac{3 (x^{2})}{9}}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3 + \frac{x^{2}}{3}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.5.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 9}{3}}$

解题步骤 3.6

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{3}{x^{2} + 9}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{3}{x^{2} + 9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{x^{2} + 9}$

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