微积分学示例

$\arctan (e^{2 x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{2 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2

将 ${(e^{2 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ 。

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

组合 $2$ 和 $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$

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