微积分学示例

$\arccos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

解题步骤 2.3

合并分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

解题步骤 2.3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

解题步骤 3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

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