微积分学示例

$f (x) = e^{2 x - 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{2 x - 1}$ 写为等式。

$y = e^{2 x - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = e^{2 y - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $e^{2 y - 1} = x$ 。

$e^{2 y - 1} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

解题步骤 3.3

展开左边。

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解题步骤 3.3.1

通过将 $2 y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 y - 1})$ 。

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

解题步骤 3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

解题步骤 3.3.3

将 $2 y - 1$ 乘以 $1$ 。

$2 y - 1 = \ln (x)$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = \ln (x) + 1$

解题步骤 3.5

将 $2 y = \ln (x) + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 y = \ln (x) + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = e^{2 x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

使用对数规则把 $2 x - 1$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $2 x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $2 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

将 $\frac{\ln (x)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3.2

运用分配律。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.5.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.5.2

化简。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

解题步骤 5.3.4

合并 $\ln (x) + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\ln (x)$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 5.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ 为 $f (x) = e^{2 x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

微积分学 示例

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