微积分学 示例

求出渐近线 f(x)=xe^(-x)
解题步骤 1
求在何处表达式 无定义。
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 2
垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。
不存在垂直渐近线
解题步骤 3
计算 以求水平渐近线。
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解题步骤 3.1
重写为
解题步骤 3.2
运用洛必达法则。
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解题步骤 3.2.1
计算分子和分母的极限值。
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解题步骤 3.2.1.1
取分子和分母极限值。
解题步骤 3.2.1.2
首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。
解题步骤 3.2.1.3
因为指数 趋于 ,所以数量 趋于
解题步骤 3.2.1.4
无穷大除以无穷大无意义。
无定义
解题步骤 3.2.2
因为 是不定式,所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明,函数的商的极限等于它们导数的商的极限。
解题步骤 3.2.3
求分子和分母的导数。
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解题步骤 3.2.3.1
对分子和分母进行求导。
解题步骤 3.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.2.3.3
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =
解题步骤 3.3
由于它的分子接近实数,而分母是无穷大,所以分数 趋于
解题步骤 4
列出水平渐近线:
解题步骤 5
因为分子的次数小于或等于分母的次数,所以不存在斜渐近线。
不存在斜渐近线
解题步骤 6
这是所有渐近线的集合。
不存在垂直渐近线
水平渐近线:
不存在斜渐近线
解题步骤 7