微积分学示例

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ 且

g (x) = 2 y

$g (x) = 2 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

2 y

$2 y$ 。

\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.1.2

cos (u)

$\cos (u)$ 对

u

$u$ 的导数为

- sin (u)

$- \sin (u)$ 。

- sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.1.3

使用

2 y

$2 y$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 y

$2 y$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [y]

$2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

- sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3

将

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ 重写为

y'

$y'$ 。

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

1

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

解题步骤 5

将

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ 中的每一项除以

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ 中的每一项都除以

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ 。

\frac{- 2 sin (2 y) y'}{- 2 sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 sin (2 y)}

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去

- 2

$- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

解题步骤 5.2.2

约去

$\sin (2 y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

解题步骤 5.2.2.2

用

$y'$ 除以

$1$ 。

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

分离分数。

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

解题步骤 5.3.2

将

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ 转换成

$\csc (2 y)$ 。

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

解题步骤 5.3.4

组合

$\csc (2 y)$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

解题步骤 6

使用

$\frac{d y}{d x}$ 替换

$y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

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