微积分学示例

$3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2} = 10 x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}) = \frac{d}{d x} (10 x^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4 y}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$

解题步骤 2.4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{- 4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.10

将负号移到分数的前面。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y' + 2 y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y') + 4 (2 y') + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

合并项。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4

在公分母上合并分子。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 (2 x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$20 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 5.1.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 ((x + 2) (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

运用分配律。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.2.2

运用分配律。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.2.3

运用分配律。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 4 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.4

运用分配律。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.5

化简。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.5.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.6

运用分配律。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.7

化简。

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解题步骤 5.1.7.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.7.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.1.8

去掉圆括号。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, {(x + 2)}^{2}, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.3

将 $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ 中的每一项乘以 ${(x + 2)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ 中的每一项乘以 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

化简 $20 x {(x + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

重写。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 0 + 0 + 20 x {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.4.1.2

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x ((x + 2) (x + 2))$

解题步骤 5.4.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1

运用分配律。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

解题步骤 5.4.1.3.2

运用分配律。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

解题步骤 5.4.1.3.3

运用分配律。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 5.4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 5.4.1.4.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 5.4.1.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 4 x + 4)$

解题步骤 5.4.1.5

运用分配律。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x \cdot x^{2} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6

化简。

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解题步骤 5.4.1.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x^{1}) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{2 + 1} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 20 x \cdot 4$

解题步骤 5.4.1.6.3

将 $4$ 乘以 $20$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 80 x$

解题步骤 5.4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 (x \cdot x) + 80 x$

解题步骤 5.4.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x^{2} + 80 x$

解题步骤 5.4.1.7.2

将 $20$ 乘以 $4$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x$

解题步骤 5.4.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.2.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2}$

解题步骤 5.4.2.2

从等式两边同时减去 $12 x$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x$

解题步骤 5.4.2.3

从等式两边同时减去 $12$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12$

解题步骤 5.4.2.4

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.2.5

从 $80 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 80 x - 12 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.2.6

从 $80 x$ 中减去 $12 x$ 。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.3

从 $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.3.1

从 $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.3.2

从 $- 4 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.3.3

从 $- 8 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.3.4

从 $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.3.5

从 $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$y' (3 y^{2} ((x + 2) (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.4.5.1

运用分配律。

$y' (3 y^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.5.2

运用分配律。

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.5.3

运用分配律。

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.6.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.6.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.7

运用分配律。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 y^{2} (4 x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.8

化简。

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解题步骤 5.4.8.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.8.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.9

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

解题步骤 5.4.10

将 $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ 中的每一项除以 $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ 并化简。

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解题步骤 5.4.10.1

将 $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ 中的每一项都除以 $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ 。

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.10.2.1

约去 $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.10.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.4.10.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.10.3.1

化简项。

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解题步骤 5.4.10.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.10.3.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.2

化简项。

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解题步骤 5.4.10.3.1.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.2.2

从 $20 x^{3} + 77 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.1.2.2.1

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.2.2.2

从 $77 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.2.2.3

从 $x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.4.10.3.2.1

从 $x^{2} (20 x + 77) + 68 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.2.1.1

从 $x^{2} (20 x + 77)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.1.2

从 $68 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.1.3

从 $x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77) + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.2

运用分配律。

$y' = \frac{x (x (20 x) + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.4

将 $77$ 移到 $x$ 的左侧。

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.2.5.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{x (20 (x \cdot x) + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68) - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.10.3.4.1

运用分配律。

$y' = \frac{x (20 x^{2}) + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.2

化简。

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解题步骤 5.4.10.3.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.2.3

将 $68$ 移到 $x$ 的左侧。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3

化简每一项。

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解题步骤 5.4.10.3.4.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{20 (x^{2} x) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{20 (x^{2} x^{1}) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{20 x^{2 + 1} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.3.2.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 (x \cdot x) + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4

以因式分解的形式重写 $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.1

使用有理根检验法因式分解 $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2, \pm 12, \pm 0.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.15, \pm 0.75, \pm 4, \pm 0.8$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

$20 {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.3

将 $20$ 乘以 $- 8$ 。

$- 160 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 160 + 77 \cdot 4 + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.5

将 $77$ 乘以 $4$ 。

$- 160 + 308 + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.6

将 $- 160$ 和 $308$ 相加。

$148 + 68 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.7

将 $68$ 乘以 $- 2$ 。

$148 - 136 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.8

从 $148$ 中减去 $136$ 。

$12 - 12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.3.9

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{x + 2}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5

用 $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$20 x^{3}$

$77 x^{2}$

$68 x$

$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $20 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$20 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			+	$20 x^{3}$	+	$40 x^{2}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x^{3} + 40 x^{2}$ 中的所有符号

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $37 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					+	$37 x^{2}$	+	$74 x$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $37 x^{2} + 74 x$ 中的所有符号

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 12$ 中的所有符号

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$20 x^{2} + 37 x - 6$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.1.6

将 $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ 书写为因数的集合。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ 并且它们的和为 $b = 37$ 。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.1.1

从 $37 x$ 中分解出因数 $37$ 。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 (x) - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.1.2

把 $37$ 重写为 $- 3$ 加 $40$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + (- 3 + 40) x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.1.3

运用分配律。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} - 3 x + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x^{2} - 3 x) + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y' = \frac{(x + 2) (x (20 x - 3) + 2 (20 x - 3))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.4.2.3

通过因式分解出最大公因数 $20 x - 3$ 来因式分解多项式。

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x - 3) (x + 2))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x - 3) (x + 2)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.5

合并指数。

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解题步骤 5.4.10.3.4.5.1

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.5.2

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1 + 1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.4.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3) - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.4.10.3.6.1

运用分配律。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x) + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.6.3

将 $- 3$ 移到 ${(x + 2)}^{2}$ 的左侧。

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.4.10.3.7

将 $\frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

微积分学 示例

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