微积分学示例

$x = \sqrt{1 + \cot (3 t)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + \cot (3 t)}$ 重写成 ${(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ({(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$x$ 对 $t$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 1 + \cot (3 t)$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + \cot (3 t)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.1.3

使用 $1 + \cot (3 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.6

求微分。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

解题步骤 4.6.3

根据加法法则， $1 + \cot (3 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

解题步骤 4.6.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

解题步骤 4.6.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$

解题步骤 4.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 4.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.7.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.7.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.8

求微分。

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解题步骤 4.8.1

组合 $\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\csc^{2} (3 t)$ 。

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 4.8.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.8.3

合并分数。

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解题步骤 4.8.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.8.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.8.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 4.8.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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