微积分学示例

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{8 u' - 3}$ 重写成 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$u$ 对 $u'$ 的导数为 $u'$ 。

$u'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ 等于 $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ ，其中 $f (u') = {u'}^{2}$ 且 $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ 等于 $f' (g (u')) g' (u')$ ，其中 $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (u') = 8 u' - 3$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 u' - 3$ 。

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $8 u' - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${u'}^{2}$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $8 u' - 3$ 对 $u'$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.9

因为 $8$ 对于 $u'$ 是常数，所以 $8 u'$ 对 $u'$ 的导数是 $8 \frac{d}{d v} [u']$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ 等于 $n {u'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.11

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.12

因为 $- 3$ 对于 $u'$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $u'$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.13

化简项。

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解题步骤 4.13.1

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.13.2

组合 $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $8$ 。

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.13.3

将 $8$ 移到 ${u'}^{2}$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.13.4

从 $8 {u'}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.14

约去公因数。

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解题步骤 4.14.1

从 $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.14.3

重写表达式。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

解题步骤 4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ 等于 $n {u'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

解题步骤 4.16

将 $2$ 移到 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

解题步骤 4.17

用公分母合并 $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ 。

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解题步骤 4.17.1

移动 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.17.2

要将 $2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18

通过指数相加将 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.18.1

移动 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19

化简 $2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20

化简。

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解题步骤 4.20.1

运用分配律。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2

化简分子。

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解题步骤 4.20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2.1.2

通过指数相加将 $u'$ 乘以 $u'$ 。

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解题步骤 4.20.2.1.2.1

移动 $u'$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2.1.2.2

将 $u'$ 乘以 $u'$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2.1.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.2.2

将 $4 {u'}^{2}$ 和 $16 {u'}^{2}$ 相加。

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.3

从 $20 {u'}^{2} - 6 u'$ 中分解出因数 $2 u'$ 。

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解题步骤 4.20.3.1

从 $20 {u'}^{2}$ 中分解出因数 $2 u'$ 。

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.3.2

从 $- 6 u'$ 中分解出因数 $2 u'$ 。

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20.3.3

从 $2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ 中分解出因数 $2 u'$ 。

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 7

使用 $\frac{d u}{d v}$ 替换 $u'$ 。

$\frac{d u}{d v}$

微积分学 示例

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