微积分学示例

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x y + \ln (x^{2} y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} y$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $x^{2} y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2} y}$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

解题步骤 2.4.3.2

组合 $\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ 和 $y'$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

解题步骤 2.4.3.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.3.1

约去公因数。

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

解题步骤 2.4.3.3.2

重写表达式。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

解题步骤 2.4.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} y}$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

解题步骤 2.4.3.5

组合 $y$ 和 $\frac{2}{x^{2} y}$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

解题步骤 2.4.3.6

组合 $\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ 和 $x$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

解题步骤 2.4.3.7

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

解题步骤 2.4.3.8

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.8.1

约去公因数。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

解题步骤 2.4.3.8.2

重写表达式。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.9

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.9.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.9.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 2.4.3.9.2.2

约去公因数。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 2.4.3.9.2.3

重写表达式。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

解题步骤 3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 1, y, x, 1$

解题步骤 5.1.2

由于 $1, 1, y, x, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $1, 1, 1, 1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $y^{1}, x^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 5.1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 5.1.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 5.1.5

$1, 1, 1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 5.1.6

$y^{1}$ 的因式是 $y$ 本身。

$y^{1} = y$

$y$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 5.1.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 5.1.8

$y^{1}, x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y x$

解题步骤 5.2

将 $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $y x$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $y x$ 。

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

移动 $y$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

约去公因数。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

重写表达式。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.4.1

从 $y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.4.2

约去公因数。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.2.1.4.3

重写表达式。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

乘以 $0 (y x)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1.1

从等式两边同时减去 $4 y^{2} x$ 。

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

解题步骤 5.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

解题步骤 5.3.2

从 $4 x^{2} y' y + y' x$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $4 x^{2} y' y$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

解题步骤 5.3.2.2

从 $y' x$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

解题步骤 5.3.2.3

从 $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

解题步骤 5.3.3

将 $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ 中的每一项除以 $x (4 x y + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ 中的每一项都除以 $x (4 x y + 1)$ 。

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $4 x y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.2

要将 $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(4 x y + 1) x$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.3.1

将 $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.3.2

重新排序 $(4 x y + 1) x$ 的因式。

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5

从 $- 4 y^{2} x - 2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.5.1

从 $- 4 y^{2} x$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5.3

从 $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.6

从 $- 2 y x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.8

从 $- (2 y x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.3.9.1

将 $- (2 y x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 y x + 1)$ 。

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.9.3

将 $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ 中的因式重新排序。

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

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