微积分学示例

$x \cos (y) = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ 中的因式重新排序。

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\cos (y)$ 。

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

解题步骤 5.3

将 $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ 中的每一项除以 $- x \sin (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ 中的每一项都除以 $- x \sin (y)$ 。

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.2.3

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

解题步骤 5.3.3.2

分离分数。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ 转换成 $\cot (y)$ 。

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

解题步骤 5.3.3.4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\cot (y)$ 。

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

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