微积分学示例

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$15$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 y$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.3.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

解题步骤 3.4.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ 。

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

解题步骤 5.2

从 $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $15 y^{2} y'$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

解题步骤 5.2.2

从 $15 y^{4} y'$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

解题步骤 5.2.3

从 $15 y'$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

解题步骤 5.2.4

从 $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

解题步骤 5.2.5

从 $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ 中分解出因数 $15 y'$ 。

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

解题步骤 5.4

因数。

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解题步骤 5.4.1

以因式分解的形式重写 $y^{4} + y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

重写中间项。

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

解题步骤 5.4.1.2

重新整理项。

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

解题步骤 5.4.1.3

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

解题步骤 5.4.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y^{2} + 1$ 和 $b = y$ 。

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

解题步骤 5.4.1.5

化简。

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解题步骤 5.4.1.5.1

重新排序项。

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

解题步骤 5.4.1.5.2

重新排序项。

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

解题步骤 5.4.2

去掉多余的括号。

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

解题步骤 5.5

将 $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ 中的每一项除以 $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ 中的每一项都除以 $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ 。

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $y^{2} + y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.3

约去 $y^{2} - y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

微积分学 示例

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