微积分学示例

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(3 x y + 7)}^{2}$ 重写为 $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.4

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

解题步骤 2.3.1.6

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

解题步骤 2.3.2

将 $21 x y$ 和 $21 x y$ 相加。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.4.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.6.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.8

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.9

求微分。

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解题步骤 2.9.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.9.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.9.3

因为 $42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $42 x y$ 对 $x$ 的导数是 $42 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.10

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.11

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.13

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 2.14

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

解题步骤 2.15

将 $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ 和 $0$ 相加。

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

运用分配律。

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

解题步骤 2.16.2

运用分配律。

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

解题步骤 2.16.3

合并项。

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解题步骤 2.16.3.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

解题步骤 2.16.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 y$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $6 y'$ 。

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $18 y^{2} x$ 。

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $42 y$ 。

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.3

从 $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $18 x^{2} y y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.3.2

从 $42 x y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.3.3

从 $- 6 y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.3.4

从 $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.3.5

从 $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

解题步骤 5.4

将 $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ 中的每一项除以 $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ 中的每一项都除以 $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ 。

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $3 x^{2} y + 7 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $- 18$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $- 18 y^{2} x$ 中分解出因数 $6$ 。

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.3

约去 $- 42$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.1

从 $- 42 y$ 中分解出因数 $6$ 。

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2

化简项。

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解题步骤 5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $- 3 y^{2} x - 7 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.4.3.2.2.1

从 $- 3 y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.2.2

从 $- 7 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.2.3

从 $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.3

从 $- 3 y x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.5

从 $- (3 y x) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.2.6.1

将 $- (3 y x + 7)$ 重写为 $- 1 (3 y x + 7)$ 。

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

微积分学 示例

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