微积分学示例

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

化简项。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.4.1

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

解题步骤 3.3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.6.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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