微积分学示例

$y = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

乘。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.2

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3

化简分子。

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解题步骤 3.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.3

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.10.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.4

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.10.3.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.2

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.10.3.3

使用勾股恒等式。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

微积分学 示例

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