微积分学示例

$y = e^{9 \sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{9 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.9

组合 $9$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11

组合 $e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{9 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12

将 $9$ 移到 $e^{9 x^{\frac{1}{2}}}$ 的左侧。

$\frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 e^{9 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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