微积分学示例

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $6 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

从 $3 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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