微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 8 x + 3$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $x^{2} + 8 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.6

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.8

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + 0) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.10

将 $2 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 4.12

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.13

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.14

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.15

化简分子。

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解题步骤 4.15.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.15.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 4.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19

化简。

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解题步骤 4.19.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + (- x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.3

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4

化简分子。

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解题步骤 4.19.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.19.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.19.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.4.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.3

将 $8$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.4

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.19.4.1.4.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.4.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.4.3

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.4.4

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.6

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.19.4.1.7.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.7.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.7.3

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.7.4

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.9

组合 $x$ 和 $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.4.1.11.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.19.4.1.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.11.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.12

将 $- 4$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.14

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.1.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.2

要将 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.3

组合 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.19.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.19.4.5.1.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.4.5.1.1.1

移动 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.1.1.2

从 $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.1.1.3

从 $- x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.1.1.4

从 $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.1.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.5.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.4.6

从 $8 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.5

合并项。

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解题步骤 4.19.5.1

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.19.5.2

合并。

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.3

运用分配律。

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.19.5.4.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.4.2

重写表达式。

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.8

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.9

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.10

约去公因数。

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解题步骤 4.19.5.10.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.10.2

约去公因数。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.10.3

重写表达式。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.5.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6

化简分子。

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解题步骤 4.19.6.1

要将 $8 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.19.6.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.6.3.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{2}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{1} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.3.2

化简 $8 x^{1}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.4

要将 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6

化简分子。

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解题步骤 4.19.6.6.1

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.6.6.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.1.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.1.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.19.6.6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 4.19.6.6.2.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 (x) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2.1.2

把 $8$ 重写为 $- 1$ 加 $9$

$\frac{\frac{3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.19.6.6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{\frac{(3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\frac{x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.6.6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.19.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 4.19.8

合并。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

解题步骤 4.19.9

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.19.9.1

移动 $x$ 。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.9.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.9.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.9.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.10

将 $(3 x - 1) (x + 3)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.19.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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